PLATONISME MATEMATIKA

FILSAFAT MATEMATIKA

Filasafat matematika adalah cabang filsafat yang berkaitan dengan dua pertanyaan utama yaitu, tentang makna kalimat matematika biasa dan tentang apakah benda abstrak itu ada. Di tinjau dari pertanyaan pertama apa yang sebenarnya dimaksud dengan kalimat matematika biasa seperti "3 adalah bilangan prima", "2 + 2 = 4" dan "ada banyak bilangan prima tak terhingga." Dengan demikian, tugas utama filsafat matematika adalah untuk membangun sebuah teori sematic dengan bahasa matematika.

Filsuf tertarik pada pertanyaan ini karena dua alasan utama: 1) itu sama sekali tidak jelas apa jawaban yang benar, dan 2) banyak jawaban tampaknya memiliki implikasi filosofis yang mendalam. Hal ini dapat dilakukan dengan melihat kalimat dari aritmatika, yang tampaknya membuat klaim langsung tentang objek tertentu. Pertimbangkan, sebagai contoh, kalimat "4 bulan." Hal ini tampaknya menjadi kalimat subjek-predikat sederhana daripada bentuk "S adalah P" - seperti, misalnya, kalimat ini kalimat terakhir membuat klaim langsung pada bulan itu, dan juga, "adalah 4" bulan itu bulat. "Bahkan" muncul untuk membuat klaim langsung tentang nomor 4. Karena itu tidak jelas apa nomor 4 seharusnya. Beberapa filsuf (antirealists) telah merespon di sini dengan keyakinan-menurut pendapat mereka. Lainnya (realis) berpikir bahwa ada hal-hal seperti nomor (dan juga sebagai objek matematika yang lain). Di antara realis, ada beberapa pandangan yang berbeda. Platonisme matematis, telah populer dalam sejarah filsafat. Menurut Platonis, benda-benda abstrak ada tapi tidak di mana-mana di dunia fisik atau dalam pikiran orang. Pada kenyataannya, mereka tidak ada dalam ruang dan waktu sama sekali.

Menurut Platonisme, penting untuk dicatat bahwa banyak filsuf tidak hanya percaya pada benda-benda abstrak, mereka berpikir bahwa untuk percaya pada obyek-obyek abstrak yang sepenuhnya tidak berwujud, adalah aneh (supranatural.) Bahkan, pertanyaan apakah benda-benda abstrak ada adalah salah satu pertanyaan filsafat tertua dan paling kontroversial. Pandangan bahwa memang ada hal-hal seperti daya yang serius untuk melihat dapat ditelusuri kembali setidaknya ke Aristoteles. Kontroversi ini terjadi telah bertahan selama lebih dari 2000 tahun. Pertanyaan besar kedua dengan filosofi matematika adalah : "tidak ada benda-benda abstrak?" Pertanyaan ini erat terkait dengan pertanyaan sematic tentang bagaimana kalimat dan teori-teori matematika harus ditafsirkan.

Matematika Platonisme

Menurut matematika Platonisme, a)terdapat benda abstrak yang sepenuhnya dan b) terdapat kalimat matematika sejati yang memberikan gambaran yang benar dari objek. Pembahasan berikut ini akan membahas Platonisme yang baik (a) dan (b). Hal yang terbaik adalah mulai dengan apa yang dimaksud dengan sebuah objek abstrak. Di antara Platonis kontemporer, pandangan yang paling umum adalah menentukan sifat sebuah objek abstrak. Artinya, benda-benda abstrak tidak berada di alam semesta fisik, tetapi mereka selalu ada dan mereka akan selalu ada. Ini tidak menghalangi suatu gagasan mental objek abstrak.

Menurut Platonis abstrak juga objek, meskipun benda abstrak tidak ada dalam ruang dan tidak terbuat dari materi fisik. Platonis juga mengklaim bahwa teorema matematika memberikan deskripsi benar tentang objek. Menurut teori Plato aritmatika untuk mengatakan apa urutan benda-benda abstrak tersebut. Selama bertahun-tahun, matematikawan telah menemukan semua bilangan bulat positif. Sebagai contoh, urutan bilangan bulat positif (1,2,3,...). Jadi, menurut Plato, urutan bilangan bulat positif adalah objek studi, seperti tata surya adalah objek studi bagi para astronom. Sejauh ini, hanya satu jenis objek matematika telah dibahas, yaitu angka. Tetapi ada berbagai macam fungsi matematika,seperti matriks, vektor, dan sebagainya.Semua ini adalah benda abstrak. Secara umum menurut Platonis, matematika adalah studi tentang sifat-sifat berbagai struktur matematis, yang abstrak di alam.

Platonisme telah ada selama lebih dari dua ribu tahun, dan selama bertahun-tahun telah menjadi salah satu pandangan yang paling populer di kalangan filsuf matematika.

Namun, untuk sebagian besar sejarah filsafat, matematika Platonisme stagnan. Gottlob Frege pada akhir abad ke19 ke Jerman mendirikan logika matematika modern, mengembangkan secara luas apa yang dianggap sebagai argumen yang paling kuat dalam mendukung Platonisme, tetapi ia tidak mengubah perumusan. Demikian juga, Godel pada abad ke-20 dari Austria dan Willard van Orman Quine bersatu untuk memperkenalkan hipotesis dalam upaya menjelaskan bagaimana manusia bisa memperoleh pengetahuan benda abstrak, tapi sekali lagi, kedua pemikir Platonis mengubah tampilan sendiri. (Hipotesis Godel adalah tentang sifat manusia , dan hipotesis Quine adalah tentang sifat bukti empiris.)

Versi Non-Tradisional

Selama 1980-an dan 1990-an varius Serikat mengembangkan tiga versi nontradisional dari Platonisme matematika: satu oleh Penelope Maddy, yang kedua oleh Balaguer (penulis artikel ini) dan Zalta Edward, dan yang ketiga oleh Michael Resnik dan Stewart Shapiro. Ketiga versi ini terinspirasi oleh keprihatinan atas bagaimana manusia bisa memperoleh pengetahuan benda abstrak. Menurut Maddy, matematika adalah tentang benda-benda abstrak, dan benda-benda abstrak, tidak berwujud, meskipun mereka berada di ruang dan waktu. Maddy mengembangkan gagasan ini sehubungan dengan set paling lengkap. Bagi dia, satu set benda fisik terletak persis di mana benda-benda fisik sendiri. Sebagai contoh, jika ada tiga telur dalam kulkas, mereka menetapkan yang mengandung telur juga dalam lemari es.

Menurut Balaguer dan Zalta, satu-satunya teori Plato yang dapat diterima adalah yang menunjukkan tidak hanya keberadaan satu obyek abstrak tapi juga keberadaan seluruh object abstrak yang mungkin. Jika ini benar, maka beberapa obyek matematika yang dapat secara konsisten dapat dipahami harus benar-benar ada. Balaguer menyebut ini “Teori Plato galur murni”, dan ia beranggapan bahwa hanya dengan menguasai pandangan ini dapat menerangkan bagaimana manusia dapat memperoleh pengetahuan obyek abstrak

Teori Plato versi lain yang dikemukakan oleh Resnik dan Shapiro disebut sebagai teori strukturalisme. Ide-ide yang bagus di sini adalah bahwa obyek nyata dari pembelajaran matematika adalah struktur-struktur, atau pola berbagai hal seperti rangkaian tanpa batas ruang geometris, dan menetapkan hirarki teoritis dan obyek individual matematika merupakan obyek-obyek yang tak nyata. Mereka hanya memposisikan di dalam suatu struktur atau pola. Ide ini dapat diperjelas dengan pemikiran sejenis di luar matematika. Pikirkanlah suatu pertahanan baseball yang dapat dipandang sebagai peristiwa di luar matematika. Ada penjaga kiri, penjaga kanan, sebuah pemberhentian, seorang pelempar bola, dan seterusnya. Semua posisi ada di dalam keseluruhan sistem atau struktur, dan semua berhubungan dengan daerah tertentu pada suatu lapangan baseball. Ketika satu regu memulai pertandingan, pemain riil menduduki posisi ini. Sebagai contoh, sepanjang awal tahun 1900an Honus Wagner pada umumnya menduduki posisi pemberhentian untuk pelempar bola. Ia merupakan obyek khusus dengan penempatan. Bagaimanapun, seseorang dapat juga menentukan posisi dirinya sendiri. Istilah obyek bukan merupakan istilah biasa melainkan merupakan suatu peran yang dapat diisi oleh orang yang berbeda.

Menurut Resnik dan Shapiro, berbagai hal serupa dapat ditemukan dalam struktur matematika. Di antaranya membentuk pola yang tersusun dari objek-obyek. Sebagai contoh, 4 menunjukkan posisi keempat di dalam sistem bilangan bulat positif. Obyek yang berbeda dapat diletakkan ke dalam posisi ini. Angka 4 sendiri bukanlah suatu obyek, tapi merupakan suatu posisi. Teori strukturalis kadang-kadang mengatakan angka-angka itu tidak punya nilai internal atau nilai mereka karena hubungannya dengan obyek lain yang bersesuaian. Sebagai contoh, 4 terletak di antara 3 dan 5. Dapat dikatakan bahwa posisi itu tidak mempunyai nilai internal secara nyata, misalnya tinggi atau berat, tapi hanya struktural seperti lokasi di dalam lapangan antara penjaga ketiga dan penjaga kedua dalam baseball.

Banyak filosofis yang tidak percaya dengan obyek-obyek abstrak. Bagaimanapun juga tidak banyak alternatif yang dapat diterima untuk teori matematika Plato. Pilihan lain adalah pendapat yang mengatakan bahwa bilangan-bilangan dan himpunan-himpunan merupakan suatu obyek abstrak (banyak  teorema matematika yang membenarkan pernyataan ini). Pendapat ini disebut teori realistik anti plato. Seperti teori plato, teori ini masih bagian dari matematika realitis sebab teori ini mendeskripsikan kebenaran yang ada di dunia.

Kebalikan dengan teori realistik anti plato, ada sebuah teori antirealistik yang dikenal sebagai teori nilai nominal matematika. Teori ini menolak kepercayaan keberadaan bilangan-bilangan, himpunan-himpunan dan sebagainya dan juga menolak kepercayaan teori matematika yang mendeskripsikan sebagian kebenaran kejadian-kejadian di dunia. Dua alternatif lain selain teori Plato yaitu teori realistik anti Plato dan teori nominal akan dibahas secara mendalam pada dua bagian di bawah ini.

 Teori Realistik Antiplato

Ada dua versi teori realistik antiplato yaitu teori psikologi dan teori fisik. Teori psikologi mengatakan bahwa teorema matematika membicarakan tentang beberapa obyek mental secara konkrit. Dalam pandangannya, bilangan-bilangan, lingkaran-lingkaran, dan sebagainya adalah ada, tapi tidak ada secara bebas pada manusia. Benda-benda itu ada sebagai obyek mental konkrit. Idea ini ada dalam pikiran manusia. Teori psikologi mempunyai banyak kelemahan dan tidak segera dapat diterima oleh beberapa filosofis. Teori ini terkenal pada akhir abad 19 sampai awal abad 20 dan dipopulerkan oleh Edmund Husserl (filsuf Jerman) dan matematikawan Belanda LEJ Brouwer dan Arend Heyting.

Teori fisik mengatakan bahwa matematika membicarakan tentang beberapa obyek fisik konkrit. Sebagian dari teori ini setuju dengan teori Plato yaitu ada bilangan-bilangan dan himpunan-himpunan. Beberapa penganut yang tidak suka dengan teori psikologi juga setuju bahwa ada kebebasan dari manusia dan pikiran mereka. Teori fisik berbeda dengan teori Plato. Sesuai dengan itu, matematika bicara tentang obyek fisik secara umum. Perbedaannya hanya sedikit. Sebagai contoh, yang satu bicara tentang geometri seperti lingkaran adalah bagian dari ruang fisik. Dengan cara yang sama, himpunan dipandang sebagai obyek fisik sehingga sebuah himpunan telur tidak lebih dari sekumpulan benda fisik tentang telur. Sebagai catatan, banyak orang yang punya pendapat tentang teori Plato.

Khususnya pendapat Plato tentang berbagai hal yang berwarna merah yang ia amati di dunia sebagai sesuatu yang bersifat abstrak. Di sisi lain, Aristoteles berpendapat bahwa di dunia ini ada benda-benda fisik yang berwarna merah, misalnya rumah merah dan apel merah, bukan sebagai suatu benda abstrak. Seseorang yang mendukung pendapat ini adalah seorang filsuf Australia bernama David Amstrong yang berpendapat bahwa angka-angka mempunyai nilai. Cara lain untuk menjelaskan angka-angka sebagai benda fisik adalah dengan menghubungkannya dengan obyek-obyek fisik yang nyata. Sebagai contoh, pernyataan “2+3 = 5” tidak secara nyata membicarakan angka-angkanya, tapi dua obyek digabung dengan 3 obyek akan menghasilkan lima obyek. Pendapat ini dikembangkan oleh filsuf Inggris John Stuart Mill pada abad 19. Teori Nominalis Teori nominalis menganggap bahwa obyek matematika seperti angka, himpunan dan lingkaran tidak secara nyata ada. Teori ini menerangkan bahwa bila ada tiga telur maka ide angka 3 ada dalam pikiran manusia, tapi manusia tidak berpikir bahwa telur-telur ini angka 3. Tentu saja, bila teori ini menyangkal bahwa angka 3 adalah sebuah obyek fisik, berarti setuju dengan teori Plato. Penjelasannya bahwa jika ada beberapa benda yang dilambangkan dengan angka 3 maka angka ini menjadi obyek abstrak, tapi teori anti Plato tidak percaya obyek abstrak sehingga tidak dapat menerima angka. Teori nominalis dibedakan dalam tiga versi yaitu nominalis paraphrase, fiksionalis dan neo meinongianis.

Teori nominalis paraphrase dapat diterangkan dengan pernyataan “4 adalah genap”. Teori ini sesuai dengan teori Plato bahwa 4 genap secara langsung sudah menunjukkan suatu bentuk abstrak. Bagaimanapun juga nominalis paraphrase tidak berpendapat bahwa pernyataan “4 adalah genap” seharusnya menjelaskan pada bentuk suatu nilai, tapi justru menganggap bahwa kalimat yang terucap secara nyata berbeda dengan kelihatannya. Secara khusus, teori nominalis paraphrase berpendapat bahwa kalimat ini tidak secara langsung membahas tentang obyek. Ada sedikit perbedaan versi dari teori nominalis paraphrase, yaitu pengetahuan terbaik adalah secara deduktif. Oleh karena itu, kalimat “4 adalah bilangan genap” dapat dinyatakan dalam bentuk “jika ada sekelompok bilangan, maka 4 adalah bilangan genap”. Disebut genap jika tidak ada bilangan lain sehingga “4 bilangan genap” tetap benar. Teori deduktif dikemukakan oleh seorang ahli matematika Jerman David Hilbert akhir abad 19 sampai awal abad 20 dan dikembangkan oleh filsuf Amerika Hilary Putnam dan Geoffrey Hellman. Versi lain dari teori nominalis paraphrase telah dikembangkan oleh filsuf Amerika Haskell Curry dan Charles Chihara.

Teori matematika fiksionalis setuju dengan teori nominalis paraphrase bahwa tidak ada obyek abstrak, sehingga tidak ada angka-angka. Teori ini menganggap teori nominalis paraphrase salah berpikir tentang kalimat “4 bilangan genap” dalam arti yang nyata. Para penganut fiksionalis berpikir bahwa teori Plato benar bahwa ada kalimat yang seharusnya dibaca sesuai dengan nilainya. “4 bilangan genap” dikatakan seperti namanya, bahwa 4 bernilai genap. Teori fiksionalis juga setuju dengan pendapat Plato bahwa jika ada angka 4 maka angka ini termasuk obyek abstrak. Tapi teori fiksionalis tidak percaya bahwa ada angka 4 dan kalimat “4 bilangan genap” tidak benar secara harafiah. Penganut fiksionalis berpendapat bahwa kalimat “4 bilangan genap” dapat dianalog dengan kalimat “ Santa Claus hidup di kutub utara”. Kalimat itu tidak benar secara harafiah tapi benar dalam kapasitasnya sebagai cerita.

Menurut penganut fiksionalis, aritmatika adalah sebuah cerita fiksi tentang sesuatu yang disebut angka. Berdasar pendapat ini, angka itu apa atau angka adalah sesuatu yang dibuat ada. Penganut fiksionalis kemudian berargumentasi bahwa tidak apa-apa menganggap bahwa kalimat matematika tidak benar secara harafiah. Matematika tidak mendukung kebenaran secara harafiah dan matematika mempunyai sejarah panjang untuk diceriterakan bahwa matematika sangat berguna dan melatih berpikir secara intelektual. Teori fiksionalis dikemukakan oleh filsuf Amerika Hartry Field, kemudian dikembangkan dengan cara yang berbeda oleh Balaguer, filsuf Amerika Gideon Rosen dan filsuf Canada Stephen Yablo.

Versi terakhir dari nominalis adalah neo meinongianis yang dikemukakan oleh Alexius Meinong seorang filsuf Austria pada akhir abad 19 . Pendapat Meinong berbeda dengan Plato, tapi banyak filsuf sekarang setuju bahwa hal ini adalah persamaan yang ada pada ajaran Plato, pada khususnya, Meinong mengatakan bahwa ada hal-hal seperti object abstak tetapi dalam hal ini tidak mempunyai keberadaan yang menyertai.

Ahli filsafat sudah menjawab Klaim Meinong's dengan pembuatan sepasang poin-poin terkait. Pertama, sejak Meinong berfikir ada hal-hal seperti angka-angka, dan sejak ia berfikir bahwa berbagai hal ini adalah nonspatiotemporal, itu mengikuti bahwa ia adalah sebuah Platonist. Kedua, Meinong dengan sederhana menggunakan keberadaan kata itu hanya pada suatu cara tidak standar: menurut Bahasa Inggris, bahwa semua adalah ada, dan hal ini kontradiksi untuk mengatakan, bahwa angka-angka adalah tidak lain dan tidak ada. Advokat neo-Meinonginisme sepakat dengan ajaran Platonis, dan setuju bahwa, kalimat " 4 adalah genap " harus ditafsirkan pada nilai nominal, seperti pembuatan (atau pengakuan untuk membuat) suatu klaim secara langsung tentang suatu object tertentu yaitu, nomor 4%, mereka juga sependapat bahwa jika ada hal manapun seperti nomor 4, kemudian [itu] akan menjadi suatu obyek abstrak yang akhirnya mereka sepakat dengan fictionalists (khayalan) yang mana tidak ada hal-hal sebagai object abstrak. Kendati ini, neo-Meinongtans mengaku bahwa - 4 genap adalah benar dan sesuai dengan literatur (harafiah), karena mereka melihat bahwa sebuah kalimat format- " Obyek 0 mempunyai predikat P" bisa jadi secara harafiah benar, sekalipun tidak ada seperti hal obyek 0.

Seperti itu, neo Meinongianism terdiri dari pada tiga pendapat yang mengakui: (1) kalimat-kalimat matematika seharusnya dibaca pada nilai nominal, sebagai fungsi untuk membuat klaim tentang object matematika seperti angka-angka; (2) tidak ada hal-hal seperti object matematika, (3) kalimat matematika masih secara harafiah benar. Neo-Meinongianism, di (dalam) format uraian di sini, yang pertama diperkenalkan oleh ahli filsafat Selandia Baru, Richard sylvan, tetapi pandangan yang terkait telah banyak dipegang lebih awal oleh Ahli filsafat Jerman Rudolf Carnap dan Carl Gustav Hempel dan ahli filsafat Inggris Sir Alfred Ayer. Pandangan-pandangan sepanjang bentuk itu telah dikuasakan oleh pendeta Inggris Graham Priest, Jody Azzouni dari Amerika Serikat, dan Otavio Bueno dari Brazil.

Di dalam pengelempokan, kemudian, ada lima alternatif yang utama pada ajaran Plato. Jika seseorang tidak ingin mengakui bahwa matematika itu adalah sekitar nonfisik, maka seseorang harus mengakui (1) matematika itu adalah tentang object mental nyata di (dalam) kepala-kepala, semua orang (ilmu psikologi); atau (2) bahwa itu adalah tentang obyek fisik yang nyata (ilmu fisik); atau (3). bahwa, bertentangan dengan penampilan pertama, kalimat matematika tidak membuat pengakuan tentang object sama sekali (menafsirkan angka); atau (4) bahwa, selagi matematika bertujuan untuk menjadi object abstrak, ada di dalam kenyataan yang tidak benar, dan matematika tidaklah secara harafiah benar (fictionalism); atau (5) hukum matematika itu bertujuan untuk menjadi object abstrak, dan tidak ada hal-hal sebagai object abstrak namun juga kalimat ini masih secara harafiah benar (neo- Meinongianism). Selama setengah abad (abad 20 ) yang pertama. filosof i matematika, didominasi oleh tiga pandangan: logika, intuisi, dan formal . Dalam rangka memahami pandangan-pandangan ini, penting untuk memahami -intelektual yang mereka dikembangkan. Sepanjang akhir abad ke 19th dan awal abad 20th, para ahli matematik dan ahli filsafat matematika, membuat gagasan untuk pengamanan suatu dasar yang tegas bagi matematika, mereka ingin menunjukkan matematika itu, sebagai latihan yang utama, adalah dapat dipercaya, atau layak dipercaya, atau kepastian. Itu dalam hubungan dengan proyek ini yang mana logika, intuisi, dan formal telah dikembangkan. Keinginan untuk menjamin dasar matematika telah disebabkan pada bagian besar oleh penemuan Ahli filsafat Inggris Bertrand Russell's pada tahun 1901 yang mana teori penempatan yang berisi suatu kontradiksi.

Logika adalah pandangan yang mana kebenara-kebenaran matematika adalah kebenaran-kebenaran logis. Gagasan ini diperkenalkan oleh Frege. Logika dikuasai pada waktu yang sama oleh Russell dan rekanannya, ahli filsafat Inggris utara Alfred Whitehead. Sedikit orang yang menguasai pandangan ini, walaupun ada suatu sekolah neo-logilca, penganjur utama adalah ahli filsafat Inggris Crispin Wright Dan Robert Hale. Intuisi adalah pandangan tentang bukti matematika tertentu yakni, meliputi pandangan matematika tidak standard. Pandangan ini diperkenalkan oleh L.E.J. Brouwer, dan telah dikembangkan oleh siswa Brouwer's Arend Heyting dan belakangan ini oleh Ahli filsafat Inggris Michael Dummett. Brouwer dan intuisi Heyting dikuasai bersama dengan psykologi, tetapi Dummett tidak, dan pandangannya adalah konsisten dengan berbagai pandangan-pandangan nonpsykologis, Platonisme dan Nominalisme. Di daerah tertentu ada sedikit perbedaan versi tentang formalisme .

Dalam pandangan ini, tidak harus secara harafiah diambil sebagai nomor. Mengikuti dari aksioma perhitungan, formalisme dapat dipegang secara bersama dengan Platonisme atau berbagai versi anti-Platonisme, tetapi pada umumnya digabung dengan nominalisme. Matematika Formalisme telah dikembangkan oleh Flaskell. Argumentasi pro-Platonis yang pertama dengan jelas dirumuskan oleh Frege, dan argumentasi anti-Platonist tahun 1973 terdapat catatan/kertas oleh Ahli filsafat Amerika Paul Benacerraf. Argumentasi Fregean untuk Platonisme. Argumentasi Frege untuk matematika Platonisme untuk pernyataan bahwa satu-satunya pandangan matematika yang dapat dipertahankan. (argumentasi versi ini memperkenalkan banyak poin-poin yang Frege sendiri tidak pernah buat; meskipun begitu, argumentasi masih Roh Fregean.) Pandangan Platonis, dan pandangan anti-Platonis yang paling lemah adalah psykologi, physika dan tafsir nominal.

Tiga pandangan ini membuat klaim kontroversi tentang bagaimana bahasa matematika harus ditafsirkan, dan Platonis membantah klaim mereka dengan cara hati-hati. Menguji orang-orang yang benar-benar berarti ketika mereka membuat ucapan matematika. Selanjutnya mengeluarkan argumentasi untuk melawan. Pemikiran psychologi dapat menyertakan dua orang; (1) ide nomor ada di dalam kepala orang-orang dan (2) kalimat teori matematika bisa ditafsirkan sebagai hal sekitar gagasan ini.

Ada orang-orang akan menolak, tetapi ada beberapa argumentasi terkenal yang diterima. Di sini diperkenalkan argumentasi psychologis membuat ketidaktentuan kebenaran matematika atas kebenaran psikologis. Jika tiap-tiap manusia meninggal, kalimat "2 + 2= 4" akan tiba-tiba menjadi tak benar. Argumentasi yang kedua adalah bahwa psychologis nampak tidak cocok/ bertentangan. Teori Aritmatika meminta dengan tegas bahwa angka-angka yang tidak terbatas benar benar ada. Oleh karena itu, angka-angka tidak bisa dijadikan gagasan di dalam otak manusia. (Lihat juga ketidakterbatasan untuk perbedaan Aristottes antara ketidak terbatasan nyata dan ketidakterbatasan potensi).

Psychologisme menyatakan bahwa metodologi yang sesuai untuk matematika adalah empiris dan psikologi. Jika psychologisme benar, kemudian bagaimana cara yang sesuai untuk menemukannya, misalnya ada suatu bilangan prima antara 10.000.000 dan 10.000.020, untuk memastikan apakah nomor itu ada di kepala manusia adalah melakukan suatu. Ini bagaimanapun, sungguh bukan metodologi yang sesuai untuk matematika, metodologi yang sesuai melibatkan buku matematika, yang bukan psikologi empiris. Physicalisme tidak banyak menghargai pandangan Platonis. Cara yang paling mudah untuk membawa argumentasi keluar melawan penafsiran physicalistic matematika adalah memusatkan pada teori pasti. Menurut physicalisme, hanya menetapkan fisik objek. Suatu masalah detik/secon dengan pandangan physicalistic adalah bahwa mereka nampak tidak mampu untuk menghitung ukuran ketidakterbatasan belaka yang melibatkan teori pasti.

Pagangan teori pasti baku tidak hanya menetapkan, tetapi juga terbatas banyak ukuran ketidak terbatasan, dimana ukuran ini lebih besar dan lebih besar dengan tidak ada akhir, di sini benar-benar ada satuan dan semua ukuran tidak terbatas. Tidak ada cara masuk akal untuk mengambil teori matematika tentang Tuhan untuk menjadi dunia fisik. Yang akhirnya, sepertiga masalah dengan physicalisme di mata Platonists adalah juga nampak untuk menyimpulkan matematika adalah suatu ilmu pengetahuan empiris, tergantung pada fisik dan fakta. Ini nampak untuk membantah metodologi matematika, bahwa matematika tidaklah empiris. Platonis membantah terhadap berbagai versi tafsir nominalis, dengan menunjukkan bahwa langkahnya tak sama dengan matematika nyata. Bagaimanapun, di sini tidak ada bukti untuk disertasi ini,jadi nampak sungguh-sungguh sumbang/palsu. Keterangan serupa dapat dibuat tentang versi tafsir nominalisme lain. Semua pandangan ini - melibatkan gagasan yang sama yaitu matematika tidaklah digunakan secara harafiah.

Tampaknya penafsiran ucapan matematika yang terbaik mempertimbangkan tentang obyek tertentu. Lagipula, seperti telah ditunjukkan ada perkembangan baik bahwa obyek yang dimasalahkan tidak hanya obyek abstrak. Argumentasi di sini nampak untuk mendorong kearah kesimpulan Platonistic yang mengatakan matematika adalah tentang object abstrak. Hal ini tidak mengikuti ajaran benar Plato, sebab anti-Platonis mengizinkan semua argumentasi ini dan masih membenarkan fictionalisme atau neo-Meinongisme. Pandangan neo-Meinongian menerima. Penafsiran matematika Platonistic yang lebih baik dan masuk akal menyangkal hal-hal seperti, angka-angka, akan tetapi neo-Meinongisme ingin mengakui matematika itu adalah bagaimanapun benar. Platonis membantah bahwa pemikiran ini adalah benar. Kelompok anti-Platonis, fictionalis, menyetujui Platonis tentang bagaimana cara menginterpretasikan ilmu matematika.

Bagaimanapun obyek abstrak bukan fisik dan bukan benda, jika mereka ada, tidaklah jelas nyata bagaimana orang bisa melihat kalimat "2 + 2 = 4" benar. Pada pemeriksaan semakin dekat, bagaimanapun ini adalah sama sekali tidak nyata. Jika argumentasi yang dibahas di atas adalah benar makaPlatonis dan fictionalis kedua-duanya menerimanya kemudian dalam urutan untuk “2 + 2 = 4" menjadi benar.

Platonis sudah menawarkan beberapa argumentasi berbeda sebagai sangkalan fictionalisme, tetapi hanya salah satu dari mereka yang mengenal sebagai kesalahan dalam argumentasi. Menurut keraguan dari argumentasi, ilmu matematika berkedudukan kuat dan benar sebab mereka menjadikan teori yang empiris telah dikembangkan dan diterima ilmu pengetahuan alam, dan pertimbangan baik untuk berpikir bahwa teori empiris ini benar. Argumentasi ini mempunyai akar di dalam pekerjaan Frege dan telah dikembangkan oleh Quine dan Putnam. Fictionalis sudah menawarkan dua tanggapan untuk argumentasi ini. Field telah berargumentasi bahwa matematika tidaklah dijadikan teori yang empiris dan ilmuwan sudah mengembangkan, jika ilmuwan ingin membantah mereka bisa meniru matematika dan teori mereka. Lagipula Balaguer, Rosen, Yablo sudah berargumentasi bahwa ia berpendapat tidak berarti matematika tidak bisa dihapuskan dari ilmu pengetahuan empiris, meskipun secara harafiah tidak benar.

Argumentasi Epistemologi melawan Platonisme.

Argumentasi Epistemologi sangat sederhana. Hal itu didasarkan pada gagasan di mana, menurut Platonisme, pengetahuan tentang Matematika adalah pengetahuan obyek abstrak. Argumentasi ini tidak bisa memperoleh pengetahuan tentang obyek abstrak berproses, sebagai berikut : - Manusia ada di dalam ruang dan waktu. - Obyek abstrak, berada di luar ruang dan waktu. - Oleh karena itu, nampak manusia tidak mudah memperoleh pengetahuan obyek abstrak.

Ada tiga jalan Platonists untuk menanggapi argumentasi ini. (1), mereka dapat menolak (2), atau mereka dapat menerima. (3) menjelaskan, meskipun tidak jelas. Platonist yang menolak (1) memelihara pikiran manusia bahwa fisik mampu untuk menghubungkan obyek abstrak dengan demikian memperoleh informasi tentang apakah obyek itu. Strategi ini telah dikejar oleh Plato dan Godel. Menurut Plato, orang-orang mempunyai jiwa tidak penting, dan kelahiran jiwa mereka memperoleh pengetahuan obyek abstrak sedemikian sehingga pelajaran matematika sungguh sekedar proses.

Menurut Godel, manusia memperoleh informasi tentang obyek abstrak atas pertolongan suatu panca indera. Ilmu Matematika hampir sama di mana informasi tentang obyek fisik diperoleh melalui perasaan. Platonis yang menolak (2) mengubah pandangan bersifat persatuan yang tradisional dan memelihara bahwa walaupun memisahkan object adalah bukan fisik dan bukan benda, mereka masih ditempatkan pada ruang dan waktu tertentu, oleh sebab itu menurut pandangannya, pengetahuan object abstrak dapat diperoleh melalui perasaan biasa. Maddy mengembangkan gagasan ini dalam hubungan dengan keputusan.

Dia mengklaim bahwa satuan obyek yang berupa bentuk fisik terletak dimanapun, oleh karena itu, orang-orang dapat merasa, melihat, mencicip dan seterusnya. Sebagai contoh, umpamakan Maddy sedang memperhatikan tiga telur. Menurut pandangannya, dia dapat melihat tidak hanya ketiga telur tetapi menetapkan isinya. Seperti itu, dia mengetahui bahwa telur adalah putih. Platonis yang menerima kedua-duanya (1) dan (2) menyangkal bahwa manusia mempunyai beberapa macam kontak dengan object abstrak yang diusulkan oleh Plato, Godel dan Maddy. Platonis masih berpikir bahwa manusia dapat memperoleh pengetahuan object abstrak. Pengetahuan abstrak matematik memperoleh bukti untuk kebenaran dari teori ilmiah empiris mereka. Bukti ini menyediakan alasan untuk percaya. Semua tentang ilmu pengetahuan empiris, dan ilmu pengetahuan tentang obyek matematika.

Pendekatan lain yang dikembangkan oleh Resnik dan Shapiro, untuk mengakui bahwa manusia dapat memperoleh pengetahuan matematika secara struktur dan pertolongan pancaindera. Mereka mengakui struktur matematika itu tak lain hanya membuat pola dan manusia dengan jelas mempunyai kemampuan untuk merumuskannya. Strategi yang lain Platonisme didasarkan pada klaim Platonis adalah benar. Kemudian pengetahuan obyek abstrak dapat diperoleh tanpa bantuan segala kontak interaksi dengan obyek tersebut. Khususnya pengetahuan obyek abstrak bisa diperoleh melalui dua metode (yang sesuai dengan metodologi para ahli matematik yang nyata): pertama menetapkan struktur matematika yang menandai struktur dan kedua, menyimpulkan fakta tentang struktur ini dengan pembuktian dalil. Sebagai contoh, jika para ahli matematika ingin belajar urutan bilangan bulat positif, mereka dapat mulai dengan merinci strukturnya. Di sini Platonis dapat memelihara kelanjutan dengan cara ini.

Para ahli matematika memperoleh pengetahuan obyek abstrak tanpa bantuan informasi dengan obyek yang diteliti. Tanpa Platonisme ini tidak bisa, sebab tradisi Platonis tidak punya jawaban bagi pertanyaan. "Bagaimana cara para ahli matematika mengetahui sistem aksioma yang tersebut dalam dunia matemalika. Platonists mengatakan bahwa ketika para ahli matematika meletakkan sistem aksioma pada dunia matematika, mereka dapat memperoleh pengetahuan itu hanya dengan membuktikan dalil dari aksioma yang diberikan.

KESIMPULAN

 Tanpa persetujuan tersebar luas, fictionalists dapat berhasil menjawab ketidakmampuan berpendapat. Tanpa persetujuan tersebar luas Platonists dapat bereaksi terhadap pendapat tersebut. Keduanya Platonism dan Fictionalism dapat dengan sukses melindungi semua argumentasi yang tradisional. Ingat bahwa Platonism dan Fictionalism bermufakat bagaimana ilmu matematika harus ditafsirkan, keduanya berpandangan setuju bahwa matematika itu harus ditafsirkan sebagai hal yang menyatakan tentang obyek abstrak. Pada pertanyaan apakah obyek abstrak ada dan suatu pengujian tentang pertanyaan untuk menerima atau menolak. Sesungguhnya manusia pada prinsipnya mengetahui ada hal-hal seperti memisahkan obyek. Penulis nampak ragu-ragu yang mana suatu jawaban benar ada. Karena itu dapat berargumentasi bahwa konsep dan suatu obyek abstrak menjadi sangat belum jelas.