PENGANTAR DAN MAKNA FILSAFAT MATEMATIKA

PENGANTAR DAN MAKNA FILSAFAT MATEMATIKA

Dr. BOB GARDNER

IDE-IDE BESAR DALAM ILMU PENGETAHUAN

Definisi (murni), matematika adalah: penggunaan prinsip-prinsip logis untuk menyimpulkan implikasi (tradisional disebut lemma, teorema, dan corollaries) dari kumpulan asumsi konsisten (disebut postulat atau aksioma). Aksioma dan teorema membuat klaim tentang objek yang ditetapkan dalam sistem matematika. Objek tersebut kadang-kadang secara informal didefinisikan semua, kita hanya bisa mendefinisikan hal-hal dari segi hal-hal lain. Untuk menghindari definisi melingkar, kita harus mengambil beberapa definisi sebagai intuitif dan mendasar (ini sering terjadi dengan objek seperti "set" dan "titik"), tapi ini harus dijaga seminimal mungkin dan sifat dari objek yang diuraikan dalam aksioma dan teorema. Definisi saya akan jatuh di bawah tampilan "metamathematical" (yaitu, pandangan tentang matematika) yang dikenal sebagai formalisme. Formalisme adalah "penegasan dari posibility mengusir intuisi dengan menunjukkan sistem formal untuk sepenuhnya memadai untuk bisnis matematika"

DAVID HILBERT (1862-1943)

Hilbert tertarik pada pengulasan matematika (geometri dalam partikuler) dari semua intuisi. Dia hanya ingin membuatmanipulasi simbol menurut aturan logika tertentu. Dia menyatakan bahwa "matematika adalah permainan yang dimainkan sesuai dengan aturan sederhana tertentu dengan tanda berarti di atas kertas".Kutipan terkenal lain berasal Hilbert adalah: "Orang harus bisa mengatakan di setiap waktu-bukan titik, garis lurus dan pesawat-meja, kursi dan gelas bir". Poin yang dikemukakan Hilbert adalah bahwa sistem aksioma matematika tidak tentang apa pun di "dunia nyata".Dalam arti, kepadaduniadanhanyakeberadaanmerekadalampikirankita(pribadi, sayasangatsetujudenganfilosofi inimatematika).

Untuk menempatkan sesuatu dalam konteks historis, Hilbert mempelajari mengenai hal ini terjadi sekitar tahun 1900. Ini adalah beberapa 70 - 80 tahun setelah penemuan (atau merupakan suatu "penemuan"?) dari geometri non-Eulidean. Diperkirakan selama lebih dari 2000 tahun bahwa geometri hanya logis dan "benar" adalah dari Euclid. Jadi penemuan geometri alternatif pada 1800-an adalah kejutan yang besar (dan sumber kontroversi). Implikasi filosofis yang dihasilkan adalah bahwa obyek matematika yang mungkin tidak mutlak ditentukan oleh beberapa kendala intuitif, mungkin mereka hanya hasil asumsi hampir sewenang-wenang. Kita akan membahas sifat geometri non-Euclidean dalam presentasi masa depan.

Sebagaimana akan kita lihat di bawah ini, beberapa bukti geometrik Elemen Euclid tidak sepenuhnya memadai oleh "modern" standar matematika (ada tak tertulis asumsi-asumsi tentang baris, misalnya). Jadi untuk semacam "membersihkan" Euclid, Hibert published Foundation of Geometry tahun 1899. “Dikatakan telah ditemukan paling berpengaruh dalam geometri sejak Eulid" [Goldstein, 137 ]. Ini cukup klaim sejak bekerja di yayasan non-Euclidean geometri telah muncul beberapa dekade sebelumnya.

Pada tahun 1900, Hilbert memberi ceramah di Kongres Kedua internasioanal hebat matematika di mana ia mencoba untuk mengatur nada matematika untuk abad ke-20. Sikap Hilbert pada waktu itu tampaknya bahwa bukti dari konsistensi geometri dan aritmatika yang dekat. Ternyata, setelah rincian lebih sedikit yang disetrika keluar, matematika akan menjadi ketat bersih, usaha benar-unintuitive! Tapi, beberapa rincian lebih rumit daripada mereka muncul di permukaan. (kebetulan, fisika relativitas dan mekanika kuantum)

FREGE, RUSSELL DAN PRINCIPIA

Duaupayamonumentaldibuatsekitar tahun 1900untuk memilikisemuamatematika(dimulai denganaritmatika) padalogikadanteori himpunan. Pada tahun 1893diterbitkanGottlobFregeHukumDasararitmatika. SebuahkaryalebihterkenalkarenaBertrandRusselldanAlfredNorth WhiteheaddisebutPrincipia Mathematica(1910).Tingkatdetailbegitubesaryangmengambillebih dari 200halamanuntukmembuktikanbahwa1+1=2. Rencananyaadalaharitmatikdasardalamteorisetsetelahsemua. apa yang bisalebihhandalyangmenetapkanteori.

Ternyata bahwa teori himpunan tahun 1900 tidak tanpa cacat seperti yang diasumsikan, Russell sendiri instrumental adalah menemukan celah di yayasan. Salah satu cara untuk menjelaskan Paradoks Russell adalah sebagai berikut: Bayangkan sebuah kota dengan tukang cukur. Tukang cukur itu memotong rambut semua orang yang tidak memotong rambut mereka sendiri. Siapa yang memotong rambut tukang cukur? Jika ia tidak memotong rambut sendiri, maka ia harus memotong rambut sendiri (karena itu pekerjaannya). Jika dia tidak memotong rambut sendiri, maka dia tidak bisa memotong rambut sendiri karena tugasnya adalah untuk memotong rambut mereka yang tidak memotong rambut mereka sendiri.

Cara lainyang lebihteoritisdiseteluntuk mempertimbangkanEsetmengatur semuatidak adaanggotasendiri. Pertanyaankemudianadalah: ApakahdiaturEanggotaitusendiri? JikaEadalahsejumlahitu sendiri, makatidak bisasayaanggotaitusendirikarenahanyaterdiridarisettersebut. JikaEadalahbukananggotaitu sendiri, makaharusmenjadianggotaitu sendiriolehitudefinisisendiri. Oleh karena itusepertimenetapkantidak bisaeksis. PemikirandariParadoks Russelladalah bahwaAnda tidakbisahanyamendefinisikanmengaturapapuncara lamayang Anda inginkan!Hal inimengarahke revisiteori himpunanaksiomatikdanprotokoltertentudenganyangmenetapkanbarudapatdidefinisikandalamhalsetyang ada. Dengansedikit perubahan, dasar dariteori himpunanharussolid, danpekerjaan membangunpengetahuanmatematikabisaberlangsung. Agaknya, mimpiformalistentangmemilikisistemaksiomayang di dalamnyasemua"kebenaran matematika" dapatdiperolehadalahdi cakrawala.

KURT GODEL(1906  – 1978)

Pada tahun 1931, matematikawan yang berumur 25 tahun berasal dari Universitas Viemma published menerbitkan paper sebanyak 26 halaman berjudul “On Formally Undecidable Proposition of Principia Mathematica and Related System”. Pada dasarnya tidak ada apresiasi secara luas akan pentingnya penelitian ini, akan tetapi sangat terkenal. Godel menyatakan dua sifat pada sistem aksioma yaitu kekonsistenan dan kelengkapan.Kekonsistenan berarti tidak ada kontradiksi dalam suatu sistem tersebut.Kelengkapan berarti memberikan penjelasan secara mendalam.

Adapun aturan tentang manipulasi suatu sistem aksioma formal yang diurutkan sebagai berikut : (1). Aturan tentang spesifikasi suatu simbol yang dikenal dengan sistem alphabet, (2). Aturan tentang spesifikasi bagaimana suatu simbol bersama-sama membentuk formula yang baik (WWF) yang diklaim oleh suatu sistem (Lemma, Korelasi dan Teorema), (3). Aturan tentang mengganti spesifikasi tentang suatu WWF menjada WWF yang lain. Suatu aksioma dikatakan lengkap jika mempunyai nilai kebenaran pada setiap WWF [Goldstein, 86]. Apakah ini bararti bahwa setiap pernyataan bisa dibuktikan benar atau salah. (Contoh WWF dalam Geometri : “Jika ada dua garis dikatakan sejajar dengan garis ketiga, maka ketiga-tiganya sejajar [contoh geometri Euclid yang benar]” dan “jumlah semua ukuran sudut pada segitiga kurang dari atau sama dengan 180⁰ [contoh geometri Euclid yang salah]. Contoh : pernyataan yang mengandung objek geometri tetapi bukan WWF adalah semua titik sejajar).

Dua hasil utama Godel :

1.      Teorema Ketidak Lengkapan Godel

2.      Kekonsistenan suatu sistem formal yang mengandung aritmatika tidak dapat dibuktikan secara formal pada sistem tersebut. [Goldstein, 183].

Apakah Godel menunjukkan bahwa ada pernyataan yang berarti pada sistem aksioma (mengandung aritmatika) dapat dibuktikan benar atau salah.Sedemikian sehingga pernyataan tersebut bernilai. Kita akan melihat contoh yang spesifik (yang disebut hipotesis Continuum) yang dipelajari pada kalkulus dan garis bilangan real. Pemikiran itu cukup mempengaruhi pada bilangan asli matematika ketika itu. Sebagai hasilnya jika tidak ada kontradiksi antara Frege dan Russel maka ada perbedaan mendasar, meskipun matematikawan lain menyatakan bahwa matematika akan dilanjutkan dan dibuktikan berdasarkan sifat-sifat yang ada.

Apakah Godel tidak mampu menunjukkan bahwa semua sistem aksioma formal tidak lengkap.Pada kenyataannya dalam disertasinya kelengkapan sistem disebut “predicate calculus”.Dan juga Godel tidak menyatakan bahwa suatu sistem aritmatika formal tidak dapat dibuktikan dengan definisi.Tetapi juga tidak dapat dibuktikan dalam sistem itu sendiri.Godel juga menyatakan tidak ada pemikiran tentang sosiologi atau kebudayaan meskipun suatu pergerakan (yang mengacu pada modernisasi radikal) yang mengungkapkan pemikiran tentang matematika dan fisika (khususnya tentang Relativitas dan Matematika Kuantum).

Pada masalah kemasyarakatan, budaya dan politik merefleksikan pada ketidakpahaman pada definisi pernyataan matematika dan fisika.Seperti yang disebutkan di atas Godel tidak mengusulkan ketidaklengkapan atau ketidakbenaran suatu objek.Teori Relativitas Enstein tidak mengimplikasikan bahwa semua objek itu relatif.Teori Kuantum hanya membahas tentang stuktur atom.

“ Kita kadang-kadang tidak ingin menjadi ilmuwan yang sombong, tetapi hanya berpandangan menjadi ilmuwan yang positif”.

ALAN SOKAL

Alan Sokal terkenal (tidak terkenal) dalam pempublikasian suatu artikel “Transgressing the Boundaries : Towards a Transvormative Hermeneutics of Quantum Gravity” dalam jurnal Social Text di tahun 1996. Sokal meneliti tentang perkembangan aplikasi matematika dan fisika. Seperti yang disebutkan di atas, pada makalahnya Sokal mengklaim tidak ada dunia real secara fisika [Sokal dan Bricmont, 2] : “Physical Reality”, tidak berbeda dengan sosial “reality” sebagai dasar untuk mengkonstruksi linguistik dan sosial. Pendapatnya meskipun tidak disebutkan secara jelas melalui jurnal sosial tetapi hanya dipublikasikan untuk memberikan kontribusi atau kritikan pada modernisasi dan konstruktivisme sosial.Banyak penelitian tentang kemanusiaan dan pengetahuan sosial yang ditulis untuk Sokal dan mengucapkan terima kasih padanya tetapi banyak juga yang tidak.

GIUSEPPE PEANO (1858-1932)

Pada tahun 1899, ahli matematikawan dari Italia Giuseppe Peano menurunkan bilangan aritmatika menjadi lima aksioma [Nagel dan Newman, halaman114]:

Aksioma1. 0 adalah bilangan asli

Aksioma 2. Penerus langsung dari suatu bilangan asli adalah bilangan asli juga

Aksioma 3. 0 bukan penerus langsung dari bilangan asli

Aksioma 4. tidak ada dua bilangan asli yang memiliki penerus langsung yang sama

Aksioma 5. Setiap properti milik ke 0 dan juga penerus langsung dari setiap bilangan asli yang memiliki properti milik semua bilangan asli.

Yang Peano lakukan di sini adalah mendefinisikan bilangan bulat non-negatif {0, 1, 2, 3, ...}. Aksioma 5 disebut Prinsip Induksi Matematika.Sedangkan bilangan bulat positif adalah bilangan prima jika hanya mempunyai faktor 1 dan dirinya sendiri.Beberapa Nomor pertama bilangan prima 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37. Pernyataan tentang bilangan kembar dari anggota aritmatik bilangan prima ditunjukkan oleh :

DUGAAN TENTANG KEBERADAAN BILANGAN PRIMA KEMBAR

 Ada tak hingga banyak bilangan kembar. (Dua bilangan prima yang kembar jika bilangan kembar tersebutmempunyai selisih 2 - misalnya 3 dan 5, 5 dan 7;. 11 dan 13, 6797227x2 15328-1 dan 6.797.227 x 2 15.328 + 1 [T. Forbes Sepasang besar Twin Perdana, " Comp Math 66 (1997) 451 455]).

DUGAAN GOLDBACH

Setiap bilangan bulat lebih besar dari atau sama dengan 4 dapat dinyatakan sebagai jumlah dari dua bilangan prima. Sejauh ini tidak ada bukti untuk salah satu dari dugaan ini, juga tidak ada bukti negasi.

Goldbach : pernyataan belum bisa ditetapkan kebenaran logikanya.